康托展开

Published on 2009 / 11 / 10

康托展开的公式

把一个整数X展开成如下形式：

X = a[n] * (n-1)! + a[n-1] * (n-2)! + ... + a[i] * (i-1)! + ... + a[2] * 1! + a[1] * 0!

其中，a为整数，并且 0 <= a[i] < i(1<=i<=n)

康托展开的应用实例

{1,2,3,4,…,n} 表示 1,2,3,…,n 的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑：第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有 1*1!= 1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的代码（C++语言）：

unsigned long cantor(unsigned long S) {
    long x = 0, i, p, k, j;
    bool hash[8] = {false};
    for (i = 8; i >= 2; i--) {
        k = S >> 3 * (i - 1);
        S -= k << 3 * (i - 1);
        hash[k] = true;
        p = k;
        for (j = 0; j <= k - 1; j++)
            if (hash[j])
                p--;
        x += fac[i - 1] * p;
    }
    return x;
}

康托展开的代码（Pascal语言）：

s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。n为数组中元素个数。fac[x]为x!

function cantor:longint:;
var
    i,j,temp:integer;
    num:longint;
begin
    num:=0;
    for i:=1 to n-1 do
    begin
        temp:=0;
        for j:=i+1 to n do 
            if s[j]<s[ i ] then inc(temp);
            num:=num+fac[n-i]*temp;
    end;
    cantor:=num+1;
end;

康托展开的代码（C语言）：

int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};  //...

long cantor(int s[], int n) {
    int i, j, temp, num;
    num = 0;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        temp = 0;
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            if (s[j] < s[i]) temp++;
        }
        num += fac[n - i] * temp;
    }
    return (num + 1);
}